Напрямки наукових досліджень Ю. В. Козаченка: дослідження розв’язків задач математичної фізики з випадковими факторами

Abstract

Резюме. Одним з напрямкiв наукових дослiджень Ю. В. Козаченка є рiвняння математичної фiзики з випадковими факторами. Цi фактори можуть мати рiзну природу: випадковi початковi умови, випадковi крайовi умови, випадкова права частина, випадковi коефiцiєнти i т. д. Умови та оцiнки збiжностi за ймовiрнiстю випадкових рядiв знаходять широке застосування при розв’язаннi задач математичної фiзики з випадковими умовами. Фiзичнi постановки таких задач розглядав Кампе де Фер’є. Вiн розглядав крайову задачу для рiвняння коливання струни з випадковими початковими умовами. У роботах В. В. Булдигiна показано, що вимога, щоб майже всi реалiзацiї випадкової початкової функцiї задовольняли умови, при яких є розв’язуваною детермiнована задача, значно звужує клас випадкових умов, за яких розв’язок iснує в класичному розумiннi. Є багато робiт, в яких вивчались задачi математичної фiзики з випадковими умовами, якi базуються на дослiдженнi збiжностi за ймовiрностю в функцiональних просторах послiдовностi випадкових функцiй, що апроксимують розв’язки крайових задач. Зауважимо, що у бiльшостi з цих робiт, для знаходження умов рiвномiрної збiжностi випадкових рядiв застосовується метод, що ґрунтується на iдеї Ж. Канаха. Булдигiним В. В. та Козаченком Ю. В. був запропонований метод, який дозволяє обґрунтовувати застосування методу Фур’є до задач математичної фiзики у багатовимiрному випадку. Метод, що ґрунтується на iдеї Кахана для цього випадку не пiдходить. У роботах Козаченка Ю. В. та його учнiв дослiджувалися рiвняння гiперпболiчного та параболiчного типiв математичної фiзики з випадковими факторами. Зокрема, вивчалися властивостi класичних та узагальнених розв’язкiв таких задач, було обґрунтувано застосування методу Фур’є, знайдено оцiнок для розподiлу супремуму розв’язкiв, та побудовано моделi розв’язкiв деяких задач, що наближають розв’язок iз заданою надiйнiстю та точнiстю в рiвномiрнiй метрицi. Всi цi результати мають не лише теоретичне, але й практичне застосування для подальшого вивчення та розвинення теорiї гiперболiчних i параболiчних рiвнянь математичної фiзики з випадковими факторами. Крiм того, цi результати дозволяють моделювати розв’язки крайових задач математичної фiзики iз заданою надiйнiстю та точнiстю в рiвномiрнiй метрицi, що може застосовуватися в наукових дослiдженнях в галузi радiотехнiки, фiзики, геофiзики, фiнансової математики, математичної економiки, в технiчних науках та в механiцi, зокрема, де використовуються методи комп’ютерного моделювання випадкових процесiв.

Abstract. One of the research areas of Yu. V. Kozachenko is equations of mathematical physicswith random factors. These factors can be of different nature: random initial conditions,random boundary conditions, random right-hand side, random coefficients, etc. Conditionsand estimates of convergence on the probability of random series are widely used in solvingproblems of mathematical physics with random conditions. Physical formulations of suchproblems were considered by Kampe de Ferier. He considered a boundary value problemfor the equation of string oscillations with random initial conditions. In the papers ofV. V. Buldygin it is shown that the requirement that almost all implementations of a ran-dom initial functions satisfied the conditions under which a deterministic problem is solved,which significantly narrows the class of random ones conditions under which the solutionexists in the classical sense. There are many papers that deals with problems of mathe-matical physics with random conditions, which are based on the study of convergence inprobability in the functional spaces of a sequence of random functions that approximate thesolutions of boundary value problems. Note that in most of these papers, a method basedon the ideas of J. Kanakh is used to find the conditions for uniform convergence of randomseries. By Buldygin V. V. and Kozachenko Yu. V. a method was proposed that allows tosubstantiate the application of the Fourier method to the problems of mathematical physicsin the multidimensional case. The method based on Kahan’s idea is not suitable for thiscase. In the papers of Kozachenko Yu. V. and his disciples the equations of hyperpbolic andparabolic types of mathematical physics with random factors were studied. In particular,we studied the properties of classical and generalized solutions of such problems, substan-tiated the application of the Fourier method, found estimates for the distribution of thesupremacy of solutions, and built models of solutions of some problems that approximatethe solution with given reliability and accuracy in the uniform metric. All these resultshave not only theoretical but also practical application for further study and developmentof the theory of hyperbolic and parabolic equations of mathematical physics with randomfactors. In addition, these results allow to model solutions of boundary value problems ofmathematical physics with a given reliability and accuracy in the uniform metric, whichcan be used in research in the fields of radio engineering, physics, geophysics, financialmathematics, mathematical economics, technical sciences and in mechanics, in particular,there, where methods of computer modeling of random processes are used.