Матричні зображення скінченних груп над комутативними локальними кільцями та їх застосування

Abstract

Резюме. Дисертація присвячена вивченню матричних зображень скінченних груп над комутативними кільцями, вивченню мономіальних матриць, пов'язаних із зображеннями над тими ж кільцями, та різноманітними застосуваннями методів теорії матричних зображень скінченних груп над комутативними кільцями в теорії лінійнійних груп, групових кілець та теорія кодування. У роботі в основному розглядаються незвідні та нерозкладні модульні зображення скінченних p-груп над комутативними кільцями характеристик p^s, які не є полями. У роботі знайдено критерій скінченності множини нееквівалентних незвідних матричних зображеннь заданого степеня скінченної p-групи над комутативним нетеровим локальним кільцем характеристик p^s (s>0, p є простим), яке не є напівпримітивним кільцем із нескінченним полем лишків. Також було показано нескінченність множини нееквівалентних незводних матричних зображень заданого степеня n> 1 скінченної p-групи G порядку |G|>2 над комутативним нетеровим локальним напівпервинним нецілим кільцем характеристики p, з нескінченним полем лишків. Розглядаються такі типи мономіальних матриць: канонічна циклічна, t-циклічна, біноміальна. Встановлено одну достатню умову їх спадкової зводиності над комутативним кільцем. Подібний результат був встановлений для біноміальних матриць над комутативним кільцем. Описані дослідження матриць було застосовано для дослідження потужності множини нерозкладних і множини незвідних унімономних зображень з точністю до еквівалентності циклічної p-групи над комутативним локальне кільце скінченної довжини характеристики p^s. Була побудована серія нерозкладних унімономіальних зображень циклічної p-групи, що відповідають двозв’язним циклам над комутативним локальним кільцем скінченної довжини характеристики p^s, і оцінено знизу за кількість побудованих зображень даного степеня з точністю до еквівалентності для груп з деяким досить великим порядком. Для циклічної p-групи над скінченним комутативним локальним кільцем скінченної довжини характеристики p було побудовано ряд нерозкладних унімономіальних зображень і підраховано кількість побудованих зображень заданого степеня з точністю до еквівалентності окремо для кожної групи та кільця зі скінченним полем лишків. Введено позначення *-еквівалентності зображень циклічної групи над локальним кільцем головних ідеалів, що дозволило абстрагуватися від деяких оборотних параметрів у серії побудованих зображень раніше. Побудовано нову серію незвідних унімономіальних зображень циклічної p-групи над довільним комутативним локальним кільцем скінченної довжини характеристики p і підраховано кількість побудованих зображень заданого степеня з точністю до *-еквівалентності окремо для кожної групи і кільця. Також було побудовано нову серію спадкових незводних унімономіальних зображень циклічної p-групи над скінченним локальним кільцем головних ідеалів характеристики p. Кількість побудованих зображень заданого степеня з точністю до еквівалентності підраховувалась окремо для кожної групи та кільця зі скінченним полем лишків. Методи матричної теорії зображення скінченних груп над комутативним кільцем K природно знаходять застосування при дослідженні матричних груп над цим же кільцем. Показано, що всі максимальні уніпотентні підгрупи повної лінійної групи над кільцем K попарно спряжені, якщо фактор-кільце K/ rad K за своїм примітивним радикалом rad K є скінченна пряма сума області Безу. Також показано, що всі максимальні уніпотентні підгрупи спеціальної лінійної групи над кільцем K попарно спряжені, якщо K/ rad K — скінченна пряма сума області Безу. Результати про максимальні уніпотентні підгрупи повної та спеціальної лінійних груп над комутативним кільцем застосовуються до дослідження силовської p-підгрупи повної та спеціальної лінійної групи над тим же кільцем характеристики p^s. Класичний приклад застосування класичної та модульної теорії зображень до дослідження періодичних одиниць цілочислового групового кільця скінченної групи є методом Лютара–Пассі. Цим методом показано, що в цілочисловому груповому кільці скінченної простої групи PSL(3,4) показника 420, яке має 23 нетривіальних дільника, можуть бути лише нетривіальні періодичні одиниці порядку: 2, 3 , 4, 5, 7 і 6 (відомо, що порядок періодичної одиниці ділить на 420), а для одиниць кручення порядку 2 і 3 задовольняється гіпотеза Цассенгауза. Використання регулярного зображення групових кілець дає змогу побудувати деякі самодуальні коди над скінченними комутативними Фробеніусовими кільцями. Деякі з них є двійковими самодуальними кодами, які є екстремальними. Зокрема, розглянуто один із методів побудови розширеного бінарного коду Голея за груповим кільцем групи порядку 24. Відомо, що існує 15 неізоморфних груп порядку 24. Показано, що таким чином можна побудувати розширений бінарний код Голея лише з груп D_{24}, (C_6 \times C_2) \rtimes C_2, C_3 \times D_8, S_ 4, \ C_2 \times A_4. Для трьох із цих груп (C_6 \times C_2) \rtimes C_2, C_3 \times D_8, C_2 \times A_4 такі коди були побудовані вперше. Крім того, побудовано коди, які використовували регулярне зображення на деяких елементах групового кільця як частину генеруючої матриці кодів. Метод побудови цих кодів був поширений на побудову нових самодуальних кодів над полем з двох елементів і над деякими скінченними комутативними Фробеніусовими кільцями.

Abstract. The thesis is devoted to the studding of matrix representations of finite groups over commutative rings, the studding of monomial matrices connected with representations over the same rings and to the diversified applications of methods of theory of matrix representations of finite groups over commutative rings in linear group theory, group rings, and coding theory. The paper deals mainly with irreducible and indecomposable modular representations of finite p-groups over commutative rings of characteristic p^s, which are not fields. In paper it has been found the criterion of finiteness of the set of non-equivalent irreducible matrices representations of given degree of finite p-group over a commutative Noetherian local ring of characteristics p^s (s>0, p is a prime) which is not semi-primitive ring, with infinite residue class field. It has also been shown the infiniteness of the set of non-equivalent irreducible matrix representations of given degree n> 1 of finite p-group G of order |G|>2 over a commutative Noetherian local semi-primordial non-integer ring of characteristic p, with infinite residue class field. The following types of monomial matrices: canonical cyclic, t-cyclic, binomial are considered. It has been established one sufficient condition of its hereditary reducibility over a commutative ring. A similar result was set for binomial matrices over the commutative ring. The described matrix studding was applied to the investigation of cardinality of the set of indecomposable and set of irreducible unimonomial representations up to equivalence of a cyclic p-group over a commutative local ring of finite length of characteristic p^s. It has been constructed a series of indecomposable unimonomial representations of a cyclic p-group corresponding to two-loop cycles over a commutative local ring of finite length of characteristic p^s, and it has been estimated below the number of constructed representations of a given degree up to equivalence for groups with some large enough order. A series of indecomposable unimonomial representations was constructed for a cyclic p-group over a finite commutative local ring of finite length of characteristic p, and it was counted the number of constructed representations of a given degree up to equivalence separately for each group and ring with the finite residue class field. It has been introduced the notation of *-equivalence of representations of a cyclic group over the commutative local principle ideals ring, which allowed us to abstract from some of the invertible parameters in a series of representations constructed earlier. It has been constructed a new series of irreducible unimonomial representations of a cyclic p-group over an arbitrary commutative local ring of finite length of characteristic p and it was counted the number of constructed representations of given degree up to *-equivalence separately for each group and ring. A new series of hereditary irreducible unimonomial representations of a cyclic p-group over a finite commutative local principle ideals ring of the characteristic p was also constructed. The number of constructed representations of a given degree up to equivalence was counted separately for each group and ring with the finite residue class field. Methods of matrix representation theory of finite groups over commutative ring K naturally find application in the investigation of matrix groups over the same ring. It has been shown that all maximal unipotent subgroups of the general linear group over the ring K are pairwise conjugated if factor-ring K/rad K by its primitive radical rad K is a finite direct sum of Bezu domain. It is also shown that all maximal unipotent subgroups of the special linear group over the ring K are pairwise conjugated if K/rad K is a finite direct sum of Bezu domain. Results on the maximum unipotent subgroups of the general and special linear groups over the commutative ring are applied to the investigation of the Sylow p-subgroup of the general and special linear group over the same ring of characteristic p^s. A classic example of applying of classical and modular representation theory to investigation of torsion units of the integer group ring the finite group is the Luthar–Passi method. It has been shown by this method that in the integer group ring of the finite simple group PSL(3,4) of exponent 420, which has 23 non-trivial divisors, can be only non-trivial torsion units of order: 2, 3, 4, 5, 7 and 6 (it is known that order of torsion units divides 420), and for torsion units of order 2 and 3 the Zassenhaus conjecture is satisfied. Using the regular representation of group rings make it possible to construct some self-dual codes over finite commutative Frobenius rings. Some of them are binary self-dual codes, which are extreme. In particular, it has been considered one method of constructing extended Binary Golay code by the group ring of group of order 24. It is known that there are 15 non-isomorphic groups of order 24. It has been shown that by this way one can construct extended Binary Golay code only from groups D_{24}, (C_6 \times C_2) \rtimes C_2, C_3 \times D_8, S_4, C_2 \times A_4. For three of these groups (C_6 \times C_2) \rtimes C_2, C_3 \times D_8, C_2 \times A_4 such codes were constructed first. Moreover, it is known codes of form, which used the regular representation on some elements of a group ring as part of a generating matrices of codes. Method of construction of this codes was extended to constructing new self-dual codes over the field of two element and over some finite commutative Frobenius rings.