On Hasse diagrams connected with the poset (1, 2, 7)

Abstract

Abstract. Representations of posets introduced in 1972 by L. O. Nazarova and A. V. Roiter, arise when solving many problems in various fields of mathematics. One of the most important problem in the theory of representations of any objects is a description of the cases of representation finite type and representation tame type. The first of these problems for posets was solved by M. M. Kleiner, and the second L. O, Nazarova. M. M. Kleiner proved that a poset has finite type if and only if it does not contain subsets of the form (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 3), (1, 2, 5) and (И, 4), which are called the critical sets. A generalization of this criterion to the tame case was obtained by L. O. Nazarova. The corresponding sets are called supercritical and they consist of the posets (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (2, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 2, 6) and (И, 5). V. M. Bondarenko proposed a generalization of the critical and supercritical posets, calling them 1-oversupercritical. This paper studies the combinatorial properties of one of such sets.

Резюме. Зображення ч. в. множин, введених в 1972 р. Л. О. Назаровою i А. В. Ройтером, виникаютьпри розв’язаннi багатьох задач в рiзних областях математики. Однiєю з найважливiших задачв теорiї зображень будь-яких об’єктiв є опис випадкiв скiнченного зображувального типу таручного зображувального типу. Перша iз цих задач для ч. в. множин розв’язана М. М. Клейне-ром, а друга Л. О. Назаровою. М. М. Клейнер довiв, що ч. в. множина має скiнченний тип тодii тiльки тодi, коли вона не мiстить пiдмножин виду(1;1;1;1);(2;2;2);(1;3;3);(1;2;5)i(И;4),якi на -зи ваються критичними множинами. Узагальнення цього критерiю на ручний випадокотримано Л. О. Назаровою. Вiдповiднi множини називаються суперкритичними i складаютьсявони з ч. в. множин(1;1;1;1;1),(1;1;1;2),(2;2;3),(1;3;4),(1;2;6)i(И;5). В. М. Бондаренкозапропонував узагальнення критичних i суперкритичних ч. в. множин, назвавши їх 1-надсупер-критичними. У цiй статтi вивчаються комбiнаторнi властивостi однiєї з таких множин.